Mathematical modelling in Swirling flows; a Hamiltonian perspective

De aanwezigheid van wervels is een essentieel onderdeel in veel industri¨ele processen zoalsmenging, scheiding, stabilisatie, etc. Maar het onbedoeld optreden van wervelingen, al dan niet door toedoen van de mens, kan ook grote schade aanrichten; tornado's zijn waarschijnlijk het meest bekend, maar ook de enorme vleugeltip-wervels die zich achter grote vliegtuigen vormen kunnen op z'n minst tot vertraging maar ook tot ongelukken leiden. Het proefschrift begint met het schetsen van het fenomeen `vortex-breakdown' in roterende pijpstromingen. Hierna worden de wiskundige vergelijkingen ten tonele gevoerd, en in het bijzonder haar Hamiltonse structuur. Deze structuur ligt ten grondslag aan een niet-lineaire spectraal methode welke gebruikt wordt om de invloed van verstoringen op speciale stromingen te beschrijven. Meer specifiek, om een spectraal methode te starten, is een (rijke) familie met geparametriseerde basisfuncties nodig, eventueel gerelateerd aan het ongestoorde probleem: in ons geval de stroming van een niet-visceus flu¨idum door een rechte pijp. Deze familie wordt in hoofdstuk 2 geconstrueerd waarbij technieken uit de variatierekening centraal staan. Deze technieken geven de mogelijkheid om stromingen te beschouwen die tot nu toe niet veel aandacht hebben gekregen: de niet-axisymmetrische, tijdsafhankelijke roterende stromingen. In hoofdstuk 3 wordt de lineaire en niet-lineaire stabiliteit van de corresponderende stromingen onderzocht. Hierbij wordt gebruik gemaakt van ide¨een die ontwikkeld zijn door Arnol'd en mensen die door hem ge¨inspireerd zijn. In de hoofdstukken 4 en 5 gebruiken we de geparametriseerde basisfuncties om twee problemen te analyseren: een niet-visceus flu¨idum in een (langzaam) expanderende pijp en de effecten van viscositeit in zowel een rechte als een expanderende pijp. De idee om de dynamica van de parameters te vinden is het best te beschrijven als we het (abstracte) definitie van een Hamiltons of Poisson systeem voor ogen hebben: het is een dynamisch systeem voor functionalen, met bepaalde eigenschappen. Van de benadering wordt geeist dat een aantal goed te kiezen functionalen een dynamica hebben die consistent is. Deze functionalen zijn niet zomaar willekeurig maar corresponderen met duidelijk fysische grootheden en zijn bovendien constanten van beweging. Dit heeft als grote voordeel dat er een eenvoudige terugkoppeling naar experimenten kan zijn. Bovendien is in het algemeen deze eis equivalent met oplosbaarheids voorwaarden (niet-resonantie condities) voor de vergelijking voor de fout. Als resultaat moet een stelsel gekoppelde, niet-autonome gewone differentiaal vergelijkingen worden opgelost, waarbij de dynamische variabele de straal van de pijp (hoofdstuk 4) of een (geschaalde) co¨ordinaat langs de wand van de pijp (hoofdstuk 5) is. Op deze manier wordt met een laag-dimensionaal model een goede beschrijving gegeven van het snelheidsveld tot aan `breakdown' en de loslating van de grenslaag in een expansie. Bovendien worden er suggesties gedaan om modellen op te stellen voor de beschrijving van het snelheidsveld voorbij `breakdown' en loslating.